تنش نرمال (Normal Stress)
منحنی تنش و کرنش یکی از اولین منحنیها یا نمودارهای استحکام مواد است که مهندسین بسیاری از جمله عمران، مواد، معدن و مکانیک هنگام آغاز یادگیری علم مواد به آن مواجه میشوند. از نظر تیم تخصصی علمی ACE مفاهیم مکانیکی تنش و کرنش، ثمره اثراتی هستند که یک قطعه از نیروهای داخلی و خارجی دریافت میکند. مقاومت مصالح یا مکانیک مواد، علمی است که بر روی تحلیل تنش و تغییر شکل مواد در اثر بارگذاری (اعمال نیرو) تمرکز میکند. طراحی سازههایی با قابلیت تحمل بارهای معین، نیازمند کسب دانش کافی در زمینه تنش و تغییر شکل مواد است. ممکن است مشاهده این نمودار و مفاهیم مربوط به آن در ابتدا دلهرهآور و سخت به نظر برسد اما در واقع اینطور نیست. ما در این مقاله به زبان ساده مفاهیم مرتبط با تنش و کرنش اشاره میکنیم.
تنش نرمال (Normal Stress)
از مفروضات مهم در استحکام مواد این است که جسم مورد پیوسته، همگن و همسانگرد باشد. جسم پیوسته جسمی است که فاقد هر نوع حفره یا فضای خالی باشد و جسم همگن جسمی همگن است که در تمام نقاط دارای خواص یکسان باشد. جسم همسانگرد نیز زمانیکه یک ویژگی با جهت تغییر نکند، جسم نسبت به آن خاصیت همسانگرد در نظر گرفته میشود و خاصیتی که با جهتگیری با توجه به سیستم محورها تغییر میکند، ناهمسانگرد است. مفهوم تنش از ابتداییترین و مهمترین مفاهیم موجود در مقاومت مصالح هستند. هنگامی که نیرویی بر یک سازه یا عضوی از آن وارد شود، تنش به وجود میآیند. فرض تعادل قطعه جهت بهکار گرفتن معادلات استاتیکی اولین اقدامی است که باید در نظر گرفته شود. تنش را میتوان به صورت نیروی وارده بر یک جسم در واحد سطح (تنش محوری (حالت کلی) تنش کششی (در صورت اعمال نیروی کششی) تنش فشاری (در صورت اعمال نیروی فشاری)) تعریف کرد. بر اساس این تعریف، معادله تنش به شکل زیر خواهد بود:
تنش خمشی
اگر راستای نیروی اعمال شده(F)، در جهت عمود بر سطح مقاوم در برابر نیرو (A) باشد، تنش نرمال (σ) به وجود میآید. از آنجایی که در بارگذاریهای محوری و خمشی، نیرو عمود بر سطح مقاوم است، تنشهای محوری و خمشی، نوعی تنش نرمال به حساب میآیند (شکل زیر). در صورت ایجاد تنش خمشی بر روی یک مقطع صاف، تنش ماکسیمم در سطح خارجی ظاهر خواهد شد.
تنش برشی و پیچشی
اگر راستای نیروی اعمال شده، موازی با سطح مقاوم در برابر نیرو باشد، تنش برشی (τ) به وجود خواهد آمد. در بارگذاریهای عرضی و پیچشی، نیرو به صورت موازی با سطح مقاوم است. از اینرو، تنشهای عرضی و پیچشی، نوعی تنش برشی محسوب میشوند. در صورت ایجاد تنش برشی عرضی بر روی یک مقطع صاف، تنش ماکسیمم در مرکز سطح خواهد بود. همچنین در صورت ایجاد تنش پیچشی بر روی یک مقطع صاف، تنش ماکسیمم در سطح خارجی خواهد بود. برای نمایش تنشهای برشی معمولا از دو اندیس استفاده میشود. اندیس اول صفحهای را مشخص میکند که تنش روی آن اعمال میشود و اندیس دوم جهت اعمال تنش را مشخص مینماید. بهعنوانمثال، τxy تنش برشی روی صفحه عمود بر محور x و در جهت y است. یک تنش برشی وقتی مثبت است که در جهت مثبت روی صفحه مثبت مکعب واحد اعمال شود و یا در جهت منفی روی صفحه منفی مکعب اعمال شود.
با توجه به شکل زیر با وجود سه تنش در هر صفحه مکعب جمعا 18 مولفه تنش در هر نقطه اعمال میشود. اما چون صفحات دوبهدو متناظر هستند بنابراین سه صفحه از آنها در نظر گرفته میشود و در مجموع 9 مولفه برای تعیین وضعیت تنش در یک نقطه نیاز است که عبارتند از:
، σx, σy، σz, τxy, τxz, τyx، τyz, τzx, τzy
بنابراین بهطورکلی حالت تنش با سه مولفهی عمودی σx، σy، σzو سه مولفهی برشی τxy، τxz، τyz تعریف میشود.
تنش در دو نقطه را تنها می توان با هم مقایسه کرد و قابل جمع و تفریق کردن نیستند. اگر تنش ها همزمان اثر کنند، مثلاً در هر سه جهت x و y و z نیرو داشته باشیم، تغییر حرارت هم داشته باشیم، کرنش در راستای x به صورت زیر خواهد بود :
اگر بخواهیم تغییر حجم را محاسبه کنیم از روش تقریبی زیر استفاده می کنیم:
کرنش(strain) و تغییر طول
برای درک مفهوم کرنش، یک میلهی استوانهای یکنواخت تحت بار کششی محوری P را در نظر بگیرید. نیروی وارد شده بر این میله باعث ایجاد تغییر شکل طولL0 در آن خواهد شد. فرض کنید که دو علامت روی سطح میله در حالت بدون کشش قرار میگیرند. یک نیرو P به یک انتهای میله اعمال میشود و میله افزایش طول و کاهش قطر میدهد. فاصله بین ابتدا و انتهای میله به میزان δ افزایش مییابد و «تغییر شکل» نامیده میشود. طول این تغییر شکل، به میزان سختی میله مورد نظر بستگی دارد. کرنش را میتوان به صورت نسبت طول تغییر شکل بر طول اصلی تعریف کرد. از آنجایی که صورت و مخرج معادله زیر دارای واحدی یکسان است، کرنش به عنوان یک پارامتر بدون بعد شناخته میشود. بر اساس این تعریف، معادله کرنش به شکل زیر خواهد بود:
کرنش نرمال و برشی
انواع اصلی کرنش به دو نوع نرمال و برشی تقسیم میشوند. در کرنش نرمال (ɛ)، تغییر شکل سازه در راستای عمود بر سطح بارگذاری رخ میدهد. کرنش برشی عرضی (γ) در این کرنش، تغییر شکل در جهت موازی با سطح بارگذاری ایجاد میشود:
کرنش پیچشی:
در این نوع کرنش، سازه با یک زاویه ϕ و در راستای محور خود میپیچد. حداکثر مقدار کرنش برشی، بر روی سطح خارجی سازه رخ میدهد. اگر سازه به صورت یک میله گرد باشد، مقدار کرنش برشی حداکثر، از رابطه زیر به دست خواهد آمد. در کرنش پیچشی، مقدار کرنش برشی در داخل میله به مقدار کرنش برشی حداکثر مرتبط است.
عوامل مؤثر در توزیع تنش و کرنش غیریکنواخت
معمولا بهدلیل عدمتوزیع یکنواخت تنش بهدلایل عدم پیوستگی، ناهمگنی و ناهمسانگردی، تنش متوسط بهجای تنش یکنواخت محاسبه میشود. برای اینکه تنش کاملا بهصورت یکنواخت توزیع شود، هر عنصر طولی در میله باید دقیقا کرنش یکسانی را تجربه کند و تناسب بین تنش و کرنش باید برای هر عنصر یکسان باشد. ناهمسانگردی ذاتی بین ذرات یک ماده امکان یکنواختی کامل تنش را روی بدنهای در حد ماکروسکوپی رد میکند. وجود بیش از یک فاز نیز باعث عدمیکنواختی تنش در مقیاس میکروسکوپی میشود. اگر میله مورد نظر مستقیم نباشد یا بار مرکزی نداشته باشد، کرنشها برای برخی از عناصر طولی متفاوت بوده و تنش یکنواخت نخواهد بود. هنگامیکه فلزات بهشدت در یک جهت خاص تغییر شکل میدهند، مانند نورد یا آهنگری، خواص مکانیکی ممکن است در مقیاس ماکروسکوپی ناهمسانگرد باشد. نمونههای دیگر از خواص ناهمسانگرد مواد کامپوزیتی تقویتشده با الیاف هستند. اختلال شدید در یکنواختی الگوی تنش، زمانی رخ میدهد که تغییر ناگهانی در مقطع وجود داشته باشد؛ این مورد منجربه افزایش تنش یا تمرکز تنش میشود. تنش به دو صورت عمودی و برشی به سطح مقطع اعمال میشود.
ترسیم منحنی تنش و کرنش
دادههای اساسی در مورد خواص مکانیکی یک فلز انعطافپذیر از یک آزمایش کشش بهدست میآید و در آن یک نمونه با طراحی مناسب تحت بار محوری فزایندهای قرار میگیرد تا زمانیکه شکسته شود. بار و ازدیاد طول در طول آزمایش در فواصل زمانی مکرر اندازهگیری و طبق معادلاتی قبلی بهصورت تنش و کرنش متوسط بیان میشوند. دادههای بهدستآمده از آزمون کشش عموما بهصورت نمودار تنش-کرنش رسم میشوند.
بخش خطی اولیه منحنی OA ناحیه الاستیکی است که در آن قانون هوک (S = Ee) حاکم است. درنقطه A حد تناسب که نشاندهندهی حداکثر مقدار تنشی در منحنی تنش-کرنش در ناحیه خطی است. نقطه B حد الاستیک است و بهعنوان بزرگترین تنشی که جسم میتواند بدون تجربه کرنش دائمی هنگام برداشتن بار تحمل کند و در آن هیچ تغییر دائمی وجود ندارد. به این دلایل اغلب با حد تناسب در نقطه A جایگزین میشود. حتی اگر منحنی بین حد تناسب و حد الاستیک خطی نباشد، ماده همچنان در این ناحیه الاستیک است و اگر بار در این نقطه یا کمتر از آن برداشته شود، نمونه به طول اولیه خود باز میگردد. حد تناسب تنشی است که در آن منحنی تنش-کرنش از خطیبودن منحرف میشود. شیب نمودار در منطقه الاستیکی، مدول الاستیسیته یا مدول یانگ نامیده میشود. همچنین در این ناحیه قانون الاستیسیته خطی یا قانون هوک برقرار است. بااینحال، لزوما بهاینمعنی نیست که همهی موادی که رفتار کشسانی دارند، معادله تنش-کرنش خطی دارند. لاستیک نمونهای از یک ماده با معادله تنش-کرنش غیرخطی است که هنوز تعریف یک ماده الاستیک را برآورده میکند.
در نقطه C نمودار نشاندهنده مقدار تنشی است که در بالای آن کرنش بهسرعت شروع به افزایش میکند و تنش در نقطه تسلیم، استحکام تسلیم، Sty نامیده میشود. نقطهای (D) که منحنی تنش-کرنش را قطع میکند بهعنوان نقطه تسلیم تعیین میشود. نقطه E استحکام نهایی (مقاومت کششی) با بیشترین استحکام که نشان دهنده حداکثر مقدار تنش در نمودار تنش-کرنش است. با انجام تغییرشکل پلاستیک پس از نقطهC ، ماده دچار کرنشسختی یا کارسختی میشود و درنتیجه استحکام آن افزایش مییابد. در ناحیه CE، تغییر شکل پلاستیک یکنواخت است و در تمامی طول نمونه اتفاق میافتد و سطح مقطع لحظهبهلحظه کوچکتر میشود ولی چون تاثیر کرنشسختی بیشتر است استحکام بالاتر میرود. از بعد نقطه E استحکام تسلیم دیگر یکنواخت نیست و در مناطقی از نمونه تغییر شکل و کاهش سطح مقطع نیز مشاهده میشود. طوریکه تاثیر این کاهش سطح مقطع از تاثیر کرنشسختی بیشتر میگردد و در نتیجه استحکام کاهش مییابد. این سیر نزولی ادامه مییابد تا اینکه نمونه در نقطه F میشکند. به استحکام در نقطه F، استحکام شکست میگویند.
مثال1:
تغییر طول میله زیر با مشخصات داده شده را محاسبه کنید؟
مثال2:
اگر 𝐸=200 𝐺𝑝𝑎 و 𝑃=20×103𝑁 تغییر طول کل میله را محاسبه کنید. همچنین تعیین کنید در کدام ناحیه تنش ماکسیمم است؟
مثال3:
تغییر طول قطعه ناشی از تنش وارده را محاسبه کنید؟
مثال4:
میله نشان داده شده در شکل زیر تحت اثر نیروي وزن خود آویزان است مطلوب است محاسبهي تنش محوري در وسط و بالاي میله؟ میله به شکل استوانه به قطر 20 میلیمتر، طول یک متر و از جنس فولاد میباشد.
به مقطع وسط میله یک نیروي محوري معادل وزن میله از انتهاي میله تا وسط میله (قسمت هاشور خورده میله در شکل بالا) وارد میشود. وزن این قسمت برابر حاصلضرب حجم نیمه پایینی میله در وزن مخصوص آن میباشد. حجم میله که استوانه اي است برابر مساحت قاعده در ارتفاع مورد نظر میباشد.
حال مقدار تنش در انتهای میله در نقطه C را محاسبه میکنیم. در اینجا نیروی محوری که به مقطع میله وارد میشود شامل وزن تمام میله است.
نتیجه گیری
منحنی تنش-کرنش بسیاری از پارامترهای مهم و مورد نیاز برای طراحی قطعه یا مواد را در اختیار مهندسان طراح قرار میدهد. نمودار تنش-کرنش خواص مکانیکی زیادی مانند استحکام، چقرمگی، الاستیسیته، نقطه تسلیم، انرژی کرنش، انعطافپذیری و ازدیاد طول در طول بار را در اختیار ما قرار میدهد و در نظر گرفتن تمامی این موارد مهندسین را در ساخت قطعات و مواد باکیفیت بالاتر راهنمایی میکند. بنابراین دانستن مفهوم تنش و کرنش و تفسیر نمودارهای آنها برای هر مهندسی به ویژه مهندسین عمران امری بسیار ضروری و حیاتی است.
منابع:
Dieter, G. E., & Bacon, D. (1976). Mechanical metallurgy (Vol. 3, pp. 43-53). New York: McGraw-hill.
سید عبدالکریم سجادی،” رفتار مکانیکی مواد”، مشهد، انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد، ویرایش دوم،1384.
https://mechanicalc.com/reference/mechanical-properties-of-material
جزوه مقاومت مصالح مهندس احمدرضا جعفری
گردآورندگان:
