تغییر شکل محوری در فنر (Axially loaded members in spring)
اعضایی مانند میلههای مستقیم از متداولترین عضوهای تحت بار محوری (کشش یا فشار) به شمار میروند. فنرها و کابلهای موجود در سازههای مختلف به عنوان نوعی میله با هدف قرارگیری در شرایط بارگذاری محوری مورد استفاده زیادی قرار میگیرند. تیم علمی تخصصی ACE در این مقاله تغییر طول ناشی از اعمال بارهای محوری در فنرها، میلههای منشوری و کابلها را مورد بررسی قرار خواهد داد.
تغییر شکل محوری در فنر (Axially loaded members in spring)
اکثر طراحان به منظور محاسبه تغییر طول اجزای تشکیلدهنده سازههای تحت بار محوری، معمولاً محاسبات خود را از فنرهای مارپیچی شروع میکنند. این فنرها کاربرد بسیار گستردهای در ماشینها و دستگاههای مختلف دارند. به عنوان مثال، در ساخت هر خودرو از دهها فنر مارپیچی استفاده میشود. شکل زیر، نمونهای از یک فنر مارپیچی تحت شرایط بارگذاری محوری را نمایش میدهد.
هنگامی که یک بار در راستای محور فنر اعمال میشود، طول فنر همجهت با راستای اعمال بار افزایش یا کاهش مییابد. در صورت اعمال بار به سمت بیرون فنر طول فنر افزایش و فنر تحت کشش قرار دارد و اگر بار به سمت داخل فنر اعمال شود، طول فنر کاهش و فنر تحت فشار قرار دارد. این تعریف به معنای وجود تنشهای کششی یا فشاری درون هر یک از حلقههای فنر نیست و هر یک از این حلقهها در ابتدای بارگذاری با برش مستقیم و پیچش مواجه میشود. با این وجود، نحوه کاهش یا افزایش طول یک فنر را میتوان معادلِ رفتار یک میله تحت کشش یا فشار در نظر گرفت. به همین دلیل، اصطلاحات مورد استفاده برای تحلیل فنر و میله مشابه یکدیگر هستند. شکل زیر، وضعیت یک فنر قبل و بعد از تغییر طول را نمایش میدهد. طول اولیه این فنر L است و با اعمال نیروی کششی P، این طول به اندازهδ افزایش مییابد (L+δ).
اگر رفتار فنر به صورت الاستیک خطی باشد، میزان تغییر طول آن با میزان بار اعمال شده متناسب خواهد بود:
P ₌ kδ , δ ₌ fP
fو k: ثابتهای تناسب
ثابت k (سختی، k=P/δ) نیروی مورد نیاز برای ایجاد یک واحد تغییر طول را نمایش میدهد. ثابت (f=δ/P) f با عنوان انعطافپذیری بیانگر تغییر طول ناشی از یک واحد نیرو است. با توجه به تعریف سختی و انعطافپذیری، این دو کمیت معکوس یکدیگر هستند:
K ₌ 1/f , f ₌ 1/k
میله منشوری
بر اثر اعمال بارهای کششی یا فشاری بر روی میلهها، طول آنها افزایش یا کاهش مییابد .به منظور تحلیل این رفتار، میله منشوری نمایش داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. میله منشوری عضوی با محور طولی مستقیم و سطح مقطع ثابت است. در اکثر منابع، به منظور نمایش میلههای منشوری از مقطع دایرهای استفاده میشود. با این وجود، میلههای مورد استفاده در سازههای مختلف میتوانند اشکال متنوعی داشته باشند.
انواع مقاطع که تحت تاثیر نیروی محوری قرار میگیرند در ادامه ارائه شده است.
اگر راستای اعمال بار از مرکز هندسی سطح مقطع انتهای میله عبور کند، توزیع تنش درون میله یکنواخت خواهد بود. به این ترتیب میتوان تنش نرمال در مقاطع دیگر را با استفاده از رابطه σ =P/A محاسبه کرد. در صورت همگن بودن ماده تشکیلدهنده میله، میزان کرنش محوری نیز از رابطه ε=δ/L به دست میآید. (δ و L، تغییر طول ایجادشده و طول اولیه میله)
اگر ماده تشکیلدهنده میله از قانون هوک پیروی کند (ماده الاستیک خطی)، رابطه بین تنش و کرنش طولی از طریق σ=εE بیان میشود.
E: مدول الاستیسیته ماده
با ادغام این رابطه با ε=δ/L و σ =P/A، تغییر طول میله به صورت معادله زیر تعریف میشود:
δ ₌ PL/AE
بر اساس این رابطه، تغییر طول با میزان بار اعمال شده و طول اولیه میله رابطه مستقیم و با مدول الاستیسیته و مساحت سطح مقطع رابطه عکس دارد. حاصلضرب AEبه عنوان صلبیت محوری تعریف میشود. رابطه بالا برای شرایط بارگذاری فشاری نیز قابل استفاده است.
سختی و انعطافپذیری یک میله منشوری با استفاده از روابطی مشابه با روابط معرفی شده برای ثابتهای فنر تعیین میشوند. سختی، نیروی مورد نیاز برای ایجاد یک واحد تغییر طول و انعطافپذیری، تغییر طول ناشی از یک واحد نیرو است. به این ترتیب، برای یک میله منشوری داریم:
K ₌ AE/L , f ₌ L/AE
کابل
کابلها برای انتقال نیروهای کششی بزرگ در هنگام بلند کردن یا کشیدن اشیا سنگین، بالا بردن آسانسورها، مهار کردن دکلها و نگهداری پلهای معلق مورد استفاده قرار میگیرند و نمیتوانند نیروهای فشاری را تحمل کنند. مقاومت آنها در برابر خمش نیز بسیار کم است. با این وجود، کابلها به عنوان عضوهای تحت بار محوری در نظر گرفته میشوند؛ چراکه این عضوها تنها در معرض نیروهای کششی قرار میگیرند. نیروهای کششی درون کابلها در راستای محور آنها اعمال میشوند. به همین دلیل، امکان تغییر مقدار و جهتگیری این نیروها با توجه به پیکربندی کابل وجود دارد.
در صورت یکسان بودن بار کششی، ماده تشکیلدهنده و مساحت مؤثر سطح مقطع، میزان افزایش طول یک کابل بیشتر از افزایش طول یک میله خواهد بود. دلیل این موضوع، شباهت بین نحوه قرارگیری سیمها در کابل با نحوه قرارگیری الیاف درون یک طناب است. این آرایش باعث کاهش مدول الاستیسیته کابل (مدول مؤثر) نسبت به مدول الاستیسیته ماده تشکیلدهنده آن میشود.
مثالهای کاربردی
در این بخش، به منظور آشنایی با روشهای تحلیل فنر یا میلههای موجود در دستگاههای ساده، به تشریح کامل چند مثال کاربردی میپردازیم. نکته بسیار مهم برای حل این مسائل، نحوه استفاده از نمودار جسم آزاد، معادلات تعادل و معادلات تغییر طول است.
مثال 1
در شکل زیر میله افقی را صلب فرض کنید. دمای محیط را افزایش میدهیم. تغییر قطر میلههای عمودی را محاسبه کنید.
میدانیم که میلهها تحت حرارت دچار افزایش قطر میشوند. اما برای بدست آوردن جواب نهایی باید احتمال وجود نیروهایی را نیز که سبب کرنش میشوند بررسی کنیم.
دستگاه بالا یک درجه نامعینی دارد. پس با تکیه بر اصل یک رابطه دیگر پیدا می کنیم. طبق تشابه داریم:
علامت منفی نیروی 𝐹𝐶 بیانگر این است که تنش آن فشاری است نه کششی.
Δ𝐶=Δ𝐶𝑇+Δ𝐶𝐹=𝛼𝑙Δ𝑇+ −𝜗𝜀𝑥 𝑙
با جاگذاری مقدار تغییر قطر (Δ𝐶) بدست میآید. تغییر قطر D نیز به همین طریق قابل محاسبه است.
مثال 2
میله ABCD آلومینیومی است و دارای مدول الاستیسیته E=70 GPa است. با صرف نظر کردن از وزن میله تغییر مکان نقطهی D چند میلیمتر است. ( هر گیگاپاسکال 1000 نیوتن بر میلیمتر مربع)
در روابط بالا مقدار نیروي محوري که به هر قطعه اعمال میشود برابر است با مجموع نیروهاي محوري وارد بر میله از سمت انتهاي میله تا ابتداي آن قطعه. به طور مثال براي تکه CD تنها نیروي 50 کیلونیوتن در نظر گرفته میشود و بقیه نیروها از جمله نیروي 75 کیلونیوتنی که به نقطه C در انتهاي این قطعه در نیروي محوري این قطعه به حساب نمیآیند و این نیرو بر قطعات بالاتر از نقطه C اثر میکند. مقادیر مثبت تغییر طول نشانگر افزایش طول و مقادیر منفی نشانگر کاهش طول است.
مثال 3
در شکل مقابل میلههاي 1 و 2 و 3 با جنس و سطح مقطع یکسان تحت تاثیر نیروهاي وارده قرار گرفته اند نیروي وارد به هر کدام از میلهها چقدر است؟
حل: با توجه به تقارن میله صلب افقی در اثر بارهاي وارده بدون آنکه دوران نماید به سمت پایین حرکت میکند.
همچنین با توجه به تقارن نیروي دو میله ي اول و آخر با هم یکی است.
مثال 3
میله AB توسط دو کابل با طول و مساحت یکسان ولی مدول الاستیسیته متفاوت نگهداري می شود، محل اثر بار P براي آن که میله AB افقی بماند چه قدر است؟
(میله به طور افقی به سمت پایین تغییر شکل داده است و تمام نقاط آن مقداري مساوي به سمت پایین تغییر شکل دادهاند)
از مساوي بودن تغییر مکان دو میله کمک میگیریم.
منابع:
جزوه مقاومت مصالح مهندس احمدرضا جعفری
کتاب مقاومت مصالح نوشته پوپوف
گردآورندگان
