پیچش (Torsion) در مقاطع مختلف
در بسياري از كاربردهاي مهندسي، اعضاي در معرض پيچش مشاهده میشوند. در هنگام چرخاندن یک پیچگوشتی، نیروی گشتاور T از طرف دست به دسته پیچگوشتی وارد شده و باعث پیچیدن پیچ میشود. مطابق نظر تیم علمی تخصصی ACE، میللنگ خودروها، محورها، فرمانها و سرمتهها نیز از قطعات دیگری هستند که در هنگام استفاده تحت پیچش قرار میگیرند. پیچش یک عضو سازهای ناشی از یک لنگرخمشی است. واحد پیچش معادل یک نیوتن بر متر مربع (پاسکال) و واحد لنگرخمشی نیوتون در متر تعریف میشود. اگر لنگرخمشی عمود بر مقطع دایره باشد؛ تنش برشی عمود بر شعاع خواهد بود. در مقاطع غیر دایروی، پیچش با اعوجاج همراه است و در آن مقاطع عرضی به صورت صفحه باقی نخواهند ماند.
پیچش (Torsion) در مقاطع مختلف
اگر سطح مقطع يك عضو سازهاي در معرض گشتاور پیچشی قرار گیرد سازه دچار پيچش میشود. اين گشتاور پیچشی برداري با اندازه یكسان و جهات مخالف می سازند. زمانی که يك مقطع دایرهای تحت پيچش است، هر سطح مقطعي از آن به صورت صفحه باقي میماند. در حالی که سطح مقطعهاي مختلف در راستاي محور، با زواياي گوناگون میچرخند. هر سطح مقطع همانند يك صفحه صلب میچرخد. اين ويژگي كمك می كند تا توزيع كرنشهاي برشي در يك مقطع دايرهاي را تعيين نمود و كرنش برشي به طور خطي با فاصله از محور مقطع دايرهاي تغيير میكند.
اگر مقطع دايرهاي در معرض پيچش قرار گيرد، به دليل تقارن حول محور مركزي، سطح مقطع به صورت دايروي باقي مانده و دچار اعوجاج نمیشود. در حالی که سطح مقطع تحت پيچش در مقاطع ديگر تغييرشكل داده و دچار اعوجاج میگردد.
اگر یک عضو دایرهای با یک تکیهگاه گیردار تحت تاثیر يك لنگر پيچشي قرار گیرد، سطح انتهايي به ميزان φ میچرخد. به اين زاويه، زاويه پيچش میگويند كه با طول L و گشتاور T متناسب است. توجه داشته باشید که بیشترین مقدار تنش برشی بر روی سطح میله در شعاع ماکسیمم رخ میدهد. امکان ترکیب تنشهای بزرگ با تمرکز تنش در نواحی زبر و ناهموار وجود دارد. از اینرو، برای مواردی که با اعمال تنشهای بزرگ همراه هستند، سطح میله جلا داده میشود. این کار میزان تنش ماکسیمم را کاهش و عمر مفید میله را افزایش میدهد.
مولفه های تنش در میله تحت پیچش
در شکل زیر، نحوه تعیین جهتگیری تنشهای ناشی از اعمال لنگرهای پیچشی را نشان میدهد. مقدار لنگرهای پیچشیT باعث دوران پادساعتگرد انتهای راست میله میشود. جهتگیری تنشهای برشی موجود در یک المان تنش بر روی سطح میله مطابق وضعیت نمایش داده شده در این شکل خواهد بود. تنشهای برشی موجود در یک میله دایرهای شکل، المان مورد نظر به صورت دوبعدی رسم شده است. این کار تنها برای تسهیل فرآیند تحلیل صورت میگیرد. از اینرو، به خاطر داشته باشید که المانهای تنش همیشه سهبعدی هستند و ضخامت آنها در راستای عمود بر صفحه در نظر گرفته میشود. مقادیر مؤلفههای تنش برشی بر روی این المانها با استفاده از مقادیر کرنشهای ناشی از پیچش و قانون هوک برای مواد تحت برش به دست میآیند.
اگر مقطع دایرهای به طول L و شعاع c به میزان φ حول محور مرکزی میپیچد، میتوانیم کرنش برشی γ را از فرمول زیر بدست آوریم:
γ = Pφ/L
كرنش برشي به طور خطي با فاصله از محور مقطع تغيير میكند. مقدار بيشينه كرنش برشي
بر روي سطح مقطع دایروی به صورت فرمول زیر خواهد بود:
γmax = Cφ/L
رابطهاي ميان كرنش برشي و كرنش برشي بيشينه در هر فاصله شعاعي از محور مقطع دایروی به صورت فرمول زیر خواهد بود:
γ = pc/γmax
قانون هوك براي تنش و كرنش برشي به صورت زير بيان میشود:
τ=Gγ
بر این اساس می توان نوشت:
Gγ=P/C Gγmax
لولههای دایرهای برای مقاومت در برابر اعمال بارهای پیچشی نسبت به میلههای توپر بهرهوری بیشتری برخوردار هستند. همان طور که میدانیم، تنش برشی بر روی سطح خارجی یک میله دایرهای توپر دارای مقدار ماکسیمم و در مرکز میله دارای مقدار صفر است. از اینرو هنگام اعمال بارهای پیچشی، حجم زیادی از ماده تشکیلدهنده میلههای توپر در معرض تنشهای بسیار کوچکتر از تنش برشی ماکسیمم قرار دارد. علاوه بر این، به دلیل کوچک بودن بازوی گشتاوری (ρ) در نزدیکی مرکز میله، امکان تعیین گشتاور پیچشی در این نقاط وجود ندارد.
هندسه لولههای دایرهای به گونهای است که اکثر مواد تشکیلدهنده آنها در نزدیکی سطح خارجی قرار دارند. در این نواحی، مقدار تنشهای برشی و بازوی گشتاوری به بیشترین حد خود میرسد. بنابراین، در صورت اهمیت داشتن مسئله کاهش وزن و صرفهجویی در مواد، استفاده از لولههای دایرهای در شرایط بارگذاری پیچشی کاربرد بیشتری خواهد داشت.
به عنوان مثال، میللنگهای بزرگ، میل کاردانها و محور توربینها معمولاً دارای سطح مقطع دایرهای توخالی هستند. تحلیل پیچش یک لوله دایرهای تقریباً مشابه تحلیل میلههای توپر است. روابط ارائه شده برای تعیین تنشهای برشی در میلهها را میتوان برای لولهها نیز استفاده کرد. با این تفاوت که فاصله شعاعی (ρ) لولهها در محدوده r1 (شعاع داخلی) تا r2 (شعاع خارجی) قرار میگیرد.
لوله دایره ای در شرایط بارگذاری پیچشی
در بخشهای قبلی رابطه بین گشتاور پیچشی T و تنش برشی ماکسیمم به صورت یک انتگرال بیان شد. در این بخش، به منظور تعیین ممان اینرسی قطبی باید حدود انتگرال را برابر با ρ=r1 و ρ=r2 قرار داد. تعاریف مختلف را میتوان به صورت زیر نیز نوشت:
r: شعاع میانگین برابر با (r1+r2)/2
d: قطر میانگین برابر با (d1+d2)/2
t: ضخامت دیواره برابر با r2-r1t
مقدار تنش میانگین در یک لوله نازک تقریباً به اندازه تنش ماکزیمم است. این موضوع بر کارآمدتر بودن نحوه به کارگیری مواد در میلههای توخالی نسبت به میلههای توپر دلالت میکند. در هنگام طراحی یک لوله دایرهای به منظور انتقال گشتاورهای پیچشی، باید از مناسب بودن میزان ضخامت دیواره اطمینان حاصل کرد. توجه به این موضوع باعث جلوگیری از چینخوردگی و کمانش دیواره لوله میشود. به این منظور، معمولاً یک مقدار ماکسیمم برای نسبت شعاع به ضخامت، مانند 12=r2/t مورد استفاده قرار میگیرد. اثرات محیطی و عوامل مرتبط با دوام نیز به عنوان ملاحظات طراحی در نظر گرفته میشوند. این عوامل میتوانند بر روی تعیین ضخامت حداقلی برای دیواره لوله تأثیرگذار باشند.
اگر مقطع دایروی توخالی تحت پيچش قرار گیرد تنش برشی به صورت زیر محاسبه میشود:
پیچش در مقاطع جدار نازک
در میلههای توخالی و نازک، با اعمال بارهای پیچشی بیش از حد، امکان رخ دادن حالت کمانش پیچشی و ایجاد چینخوردگیهایی با زاویه 45 نیز وجود دارد.
مثال 1
يك مقطع دایرهای توخالي از جنس فولاد به طول 5/1 متر دارای قطر داخلی 40 میلیمتر و قطر خارجی 60 میلیمتر میباشد. اگر تنش برشی ماکزیمم 120 مگا پاسکال باشد لنگر پیچشی ماکزیمم و مینیمم چقدر خواهد بود؟
مثال 2
مقدار تنش برشی ماکزیمم در تیر طرهای زیر با توجه به اطلاعات داده شده چه مقدار است؟
مثال 3
زاویه پیچش سطح C را نسبت به سطح A به دست آورید؟
ابتدا زاویه پیچش B نسبت به A را محاسبه میکنیم.
در نهایت زاویه پیچش C نسبت به B را محاسبه میکنیم.
مثال 4
اگر در لولهای با قطر خارجی 50 میلیمتر تحت تنش برشی 60 مگاپاسکال قرار گیرد. حداقل ضخامت لوله چقدر خواهد بود؟ ( f=20 HZ و P=100kw)
مثال 5
اگر مقطع جدار نازک زیر تحت پیچش 10 نیوتن در متر قرار گیرد، مقدار تنش برشی ماکزیمم را به دست آورید؟
مثال 6
اگر تنش برشی مقطع جدار نازک زیر تحت پیچش برابر 80 مگاپاسکال باشد. مقدار پیچش را محاسبه کنید؟
نتیجهگیری
معادلات ارائه شده در این مقاله برای میلههای دایرهای شکل (توپر یا توخالی) با رفتار الاستیک خطی قابل استفاده هستند. به عبارت دیگر، بارگذاریها باید به گونهای باشند که ماده از حد الاستیک خود عبور نکند. علاوه بر این، معادلات تنش تنها برای مقاطع دور از نواحی تمرکز تنش (مانند حفرهها) و دور از نقاط بارگذاری اعتبار دارند. در پایان باید تأکید کنیم که معادلات ارائه شده برای میله و لولههای دایرهای شکل را نمیتوان برای میلههای غیر دایرهای مورد استفاده قرار داد. به عنوان مثال، رفتار میلههایی با سطح مقطع مستطیلی یا I شکل در مقایسه با میلههای دایرهای کاملاً متفاوت است. سطح مقطع این نوع میلهها در اثر اعمال بارهای پیچشی ثابت باقی نمیماند. به علاوه، تنشهای ماکسیمم در آنها بر روی دورترین نقطه از مرکزِ سطحِ مقطع قرار ندارد. با توجه به این نکات، تحلیل میلههای غیر دایرهای نیازمند به کارگیری روشهای پیشرفتهتر است.
منابع:
Dieter, G. E., & Bacon, D. (1976). Mechanical metallurgy (Vol. 3, pp. 43-53). New York: McGraw-hill.
سید عبدالکریم سجادی،” رفتار مکانیکی مواد”، مشهد، انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد، ویرایش دوم،1384.
https://mechanicalc.com/reference/mechanical-properties-of-material
جزوه مقاومت مصالح مهندس احمدرضا جعفری
گردآورندگان:
