تنشهای خمشی
مقدار لنگر خمشی (M) در طول یک تیر از طریق رسم نمودار لنگر خمشی قابل محاسبه است. مقادیر به دست آمده از این نمودار را میتوان برای تعیین تنش خمشی در هر مقطع دلخواه به کار برد. شکل زیر، یک تیر ساخته شده از مواد الاستوپلاستیک را نمایش میدهد و در معرض لنگر خمشی M قرار گرفته است. لنگرخمشی M باعث ایجاد خمش در صفحه x-y میشود. در صورت کوچک بودن لنگر خمشی، حداکثر تنش موجود در تیر از تنش تسلیم σY کمتر و وضعیت آن مشابه یک تیر تحت خمش الاستیک با توزیع تنش یکنواخت خواهد بود. در ادامه به تعریف مواد الاستوپلاستیک میپردازیم.
مواد الاستوپلاستیک
توزیع تنش در تیرهای الاستوپلاستیک، به صورت خطی نبوده و با توجه به شکل زیر منحنی تنش کرنش تغییر میکند. ماده الاستوپلاستیک قبل از رسیدن به تنش تسلیم σY، از قانون هوک پیروی میکند و سپس تحت تنش ثابت به صورت پلاستیک تسلیم میشود. بنابراین مواد الاستوپلاستیک دارای یک محدوده الاستیک خطی در میان نواحی پلاستیک کامل خود هستند.
نمودار ایدهآل تنش کرنش برای مواد الاستوپلاستیک به صورت زیر خواهد بود. فولاد سازهای یکی از بهترین مثالهای مواد الاستوپلاستیک است که نقاط تسلیم در نمودار تنش-کرنش به طور کامل مشخص هستند و کرنشهای بزرگی در حین تسلیم رخ میدهند. نهایتاً، رفتار سخت شوندگی کرنش در این مواد شروع میشود و دیگر فرض پلاستیسیته کامل برای آنها معتبر نخواهد بود. سخت شوندگی کرنش امکان افزایش مقاومت را فراهم میکند. از اینرو، فرض پلاستیک کامل بسیار خوشبینانه است.
خمش محض
عضوی که در معرض لنگرهای مساوی و مخالف وارد بر یک صفحه طولی قرار داشته باشد عضو تحت خمش محض نام دارد. این عضو بصورت کمانی از دایره با شعاع انحنای ρ خم میشود. خمش محض سطح موازی با وجههای بالا و پایین عضو وجود دارد که در آن εx و σx صفر است. این سطح، سطح خنثی نام دارد. در شکل زیر در نقاطی که به فاصلهی y از محور خنثی قرار دارند کرنش برابر است با:
روابط بالا به معنای تغییرات خطی کرنش در ارتفاع مقطع تحت تاثیر خمش هستند و جالب است بدانیم که این روابط در حالت پلاستیک شدگی مقطع نیز معتبر هستند.
بنابراین لنگر اول سطح مقطع حول محور خنثای آن باید صفر باشد. به عبارت دیگر در عضوی که در معرض خمش محض قرار گرفته است، مادام که تنش در محدوده الاستیک باقی میماند محور خمشی از مرکز سطح میگذرد. تنش خمشی در نقاطی که به فاصله Y از محور خنثی قرا گرفتهاند برابر است با:
اگر لنگر خمشی M مثبت باشد، تنش خمشی بالای محور خنثی (y>0) فشاری است (σx<0) و اگر لنگر خمشی M منفی باشد، این تنش کششی است. تنش خمشی ماکزیمم و اساس مقطع در این حالت از فرمولهای زیر محاسبه میشود. پارامتر S مدول مقطع یا اساس مقطع یا مقاومت خمشی مقطع نامیده میشود که تنها به شکل هندسی مقطع بستگی دارد.
خمش در تیر
با تعیین محل قرارگیری محور خنثی و رابطه گشتاور-انحنا، امکان محاسبه تنشهای موجود در تیر بر اساس لنگر خمشی فراهم میشود. اگر رابطه انحنا را در σx=-Eκy جایگذاری کنیم، به معادله زیر خواهیم رسید:
این معادله با عنوان رابطه خمش شناخته میشود و رابطه مستقیم بین تنش با لنگر خمشی و رابطه عکس بین تنش با ممان اینرسی سطح مقطع را نمایش میدهد. علاوه بر این، تنشهای موجود در تیر با تغییر فاصله y (فاصله از محور خنثی) به صورت خطی تغییر میکنند.
در صورت مثبت بودن گشتاور خمشی تیر، تنشهای خمشی بر روی بخشی از سطح مقطع با فاصله منفی از محور خنثی دارای علامت مثبت (کششی) خواهند بود. این تنشها در بخش بالایی تیر با علامت منفی (فشاری) ظاهر میشوند. اگر علامت گشتاور خمشی منفی شود، علامت تنشها برعکس خواهد شد (شکل زیر).
محور خنثی از مرکز هندسی سطح مقطع عبور میکند. به دلیل مثبت بودن گشتاور خمشی، تنشهای بالای محور z فشاری و تنشهای پایین این محور کششی هستند. حالت قبل تا زمانی باقی میماند که تنش موجود در دورترین نقطه از محور خنثی (در فشار یا کشش) به تنش تسلیم σY برسد.
لنگر خمشی در لحظه رسیدن به تنش تسلیم با MY نمایش داده میشود. مقدار این گشتاور از رابطه زیر به دست میآید:
لنگرخمشی پلاستیک و محور خنثی
در حالت خمش پلاستیک فرض اساسی هندسی خمش باز برقرار میباشد و مقاطع صفحهای عمود بر محور تیر پس از خمش بصورت صفحه مسطح باقی میماند، بنابراین در این حالت نیز کرنش یک تار متناسب با فاصله آن تار از محور خنثی میباشد. در خمش الاستیک از رابطه y/ρ-=ε برای محاسبه کرنش در المانی که به فاصله y از محور خنثی قرار گرفته استفاده میشود و میتوان از ضرب کردن مدول یانگ در کرنش ε، مقدار تنش σ را محاسبه کرد، ولی در خمش پلاستیک تنها رابطه y/ρ-=ε صادق میباشد و قانون هوک (Eε=σ) برقرار نیست و علت آن این است که بر خلاف کرنش، تنش نمیتواند از تنش تسلیم که آنرا σy مینامیم تجاوز کند. در خمش پلاستیک، محور خنثی تیر الزاما از مرکز هندسی سطح مقطع تیر عبور نمیکند و تنها در صورتی که مقطع تیر نسبت به محور خمش دارای تقارن باشد و همچنین نمودار تنش-کرنش در کشش و فشار یکسان باشد، محور خنثی از مرکز هندسی سطح مقطع میگذرد. در حالت کلی خمش پلاستیک برای تعیین موقعیت محور خنثی از دو نکتهی زیر استفاده میشود:
- نمودار توزیع کرنش بصورت خطی است
- تعادل مقطع ایجاب میکند که برای برایند نیروهای کششی و فشاری وارده بر مقطع با هم برابر باشند.
هنگامی که لنگر خمشی از لنگر تسلیم MY بیشتر شود، کرنش تیر افزایش یافته و در نهایت به کرنش تسلیم میرسد. اگرچه به دلیل رخ دادن تسلیم پلاستیک کامل، مقدار σmax ثابت و برابر σY باقی میماند. در این حالت، نواحی خارجی تیر به صورت کاملاً پلاستیک و در مقابل هسته مرکزی آن (هسته الاستیک) به صورت الاستیک خطی باقی میماند. اگر محور تقارن سطح مقطع بر روی محور z منطبق نباشد، هنگام عبور لنگر خمشی از نقطه تسلیم، محور خنثی از مرکز هندسی سطح مقطع دور میشود. جابجایی محور خنثی برای مقطع ذوزنقهای بزرگ نبوده و به اندازهای کوچک است که در شکل آن مشاهده نمیشود. در مقاطع دارای تقارن مضاعف، محور خنثی در هنگام عبور لنگر خمشی از نقطه تسلیم نیز از مرکز هندسی سطح مقطع عبور میکند. با افزایش بیشتر لنگر خمشی، ناحیه پلاستیک بزرگتر و به محور خنثی نزدیکتر میشود. این تغییرات تا رسیدن به حالت نمایش داده شده در شکل زیر ادامه مییابند. در این مرحله، حداکثر کرنش موجود در تیر (در دورترین فاصله از محور خنثی) حدود 10 تا 15 برابر کرنش تسلیم εY و هسته الاستیک تقریباً محو میشود.
به این ترتیب، ظرفیت تیر برای مقاومت در برابر لنگر خمشی به مقدار نهایی خود میرسد و وضعیت نهایی توزیع تنش (توزیع تنش ایده آل) به شکل دو مستطیل در میآید. لنگر خمشی متناظر با این توزیع تنش با عنوان لنگر پلاستیک شناخته شده و با علامت MP نمایش داده میشود. این لنگر بیانگر حداکثر لنگری است که یک تیر الاستوپلاستیک میتواند تحمل کند.
برای محاسبه لنگر پلاستیک MP، ابتدا باید مختصات محور خنثی سطح مقطع تیر را تحت شرایط کاملاً پلاستیک تعیین کرد. به این منظور، سطح مقطع نمایش داده شده در شکل زیر را با فرض انطباق محور خنثی بر روی محورz در نظر بگیرید.
فرض کنید تمام نقاط موجود در بالای محور خنثی تحت تنش فشاری σY و تمام نقاط زیر این محور تحت تنش کششیσY قرار دارند. برآیند نیروی فشاری C برابر با حاصلضرب σY در مساحت سطح مقطعA1 و برآیند نیروی کشش T برابر با حاصلضرب σY در مساحت سطح مقطع A2 است.
به دلیل صفر بودن نیروی برآیند اعمال شده بر روی سطح مقطع، خواهیم داشت:
T=C , A1 = A2
مساحت کل سطح مقطع A از حاصل جمع A1 وA2 به دست میآید. بنابراین:
A1=A2=A/2
در شرایط کاملاً پلاستیک، محور خنثی سطح مقطع را به دو ناحیه برابر تقسیم میکند. به همین دلیل، امکان متفاوت بودن محل قرارگیری محور خنثی برای گشتاور پلاستیک MP با خمش الاستیک خطی وجود دارد. به عنوان مثال، در مقاطع ذوزنقهای که عرض سطح مقطع بخش بالایی کمتر از بخش پایینی است؛ محور خنثی در حالت خمش کاملاً پلاستیک کمی پایینتر از محور خنثی در حالت خمش الاستیک خطی خواهد بود.
به دلیل برابر بودن گشتاور پلاستیک MP با برآیند گشتاور تنشهای اعمال شده بر سطح مقطع، مقدارMP از انتگرال بر روی سطحA تعیین میشود:
یک روش سادهتر محاسبه لنگر پلاستیک، استفاده از لنگر نیروهای C و T حول محور خنثی است:
ضریب شکل و مدول پلاستیک
رابطه به دست آمده برای لنگر پلاستیک را میتوان بر حسب رابطه لنگر تسلیم نیز بازنویسی کرد:
MP= σY Z
که در آن:
Z، مدول پلاستیک سطح مقطع است. از نظر هندسی، این مدول را میتوان به عنوان گشتاور اول سطح بالای محور خنثی به علاوه گشتاور اول سطح زیر محور خنثی در نظر گرفت. نسبت گشتاور پلاستیک به گشتاور تسلیم فقط تابعی از شکل سطح مقطع بوده و با عنوان ضریب شکل شناخته میشود:
این ضریب، معیاری از مقاومت ذخیره شده در تیر بعد از شروع اولین تسلیم است. مقدار ضریب شکل برای مواردی که بخش زیادی از سطح مقطع در نزدیکی محور خنثی قرار داشته باشد (مانند تیری با سطح مقطع دایرهای توپر) دارای بیشترین مقدار و برای مواردی که بخش زیادی از سطح مقطع در فاصله دور از محور خنثی قرار داشته باشد (مانند تیری با سطح مقطع بال پهن) دارای کمترین مقدار است. نحوه تعیین مقادیرf برای سطح مقطعهای مستطیلی، بال پهن و دایرهای در بخشهای بعدی تشریح خواهد شد.
لنگر خمشی و لنگر پلاستیک مقاطع مختلف
در جدول زیر مقاطع مختلف یه همراه موارد خواسته شده ارائه شده است.
مثال 1
یک تیر مستطیلی توخالی متقارن از جنس مواد الاستوپلاستیک (σY=33ksi) تحت لنگر خمشی M قرار دارد. مقدار لنگر خمشی به اندازهای است که بالهای تیر به نقطه تسلیم میرسد اما جانهای آن در حالت الاستیک خطی باقی میماند. اگر ابعاد سطح مقطع b=5in ،b1=4 ،h=9 و h1=7.5in باشد، مقدار لنگر M را تعیین کنید؟
سطح مقطع تیر مورد بررسی و توزیع تنشهای نرمال اعمال شده بر روی آن در شکل زیر نشان داده شده است. با توجه به شکل میتوان مشاهده کرد که مقدار تنشهای موجود در جانهای تیر با فاصله گرفتن از محور خنثی به صورت خطی افزایش مییابد. به علاوه، مقدار تنشهای موجود در بالهای تیر با تنش تسلیم σY برابر است.
بنابراین، لنگر خمشی M اعمال شده بر سطح مقطع دارای دو بخش خواهد بود:
الف: لنگر M1 جان
ب: لنگرM2 حاصل از تنشهای تسلیم σY موجود در بالها
لنگر خمشی موجود در هسته (M1) با استفاده از رابطه خمش و مدول مقطع جانهای تیر به دست میآید. به این ترتیب:
برای محاسبه لنگر خمشی موجود در بالهای تیر(M2) باید برآیند نیروی موجود در هر بال از حاصلضرب تنش تسلیم در مساحت بال به دست آید:
اگر لنگر خمشی مثبت باشد، نیروی موجود در بال بالایی به صورت فشاری و نیروی موجود در بال پایینی به صورت کششی خواهد بود. این دو نیرو باعث ایجاد لنگر خمشیM2 میشوند:
لنگر خمشی کل اعمال شده بر سطح مقطع برابر است با:
لنگر خمشی M بین دو مقدار زیر قرار دارد و با جایگذاری مقادیر هر یک از پارامترها خواهیم داشت:
لنگر تسلیمMY و لنگر پلاستیکMP دارای مقادیر زیر خواهند بود:
مثال 2
میلهای فولادی با قطر d مطابق شکل زیر در اطراف استوانهای با شعاع R0 خم شده است. اگر قطر این میله d=4mm، شعاع استوانه R0=0.5m، مدول الاستیسیته فولاد E=200GPa وحد الاستیک آن σp1=1200MPa در نظر گرفته شود، لنگر خمشی M و تنش خمشی ماکسیمم σmax چقدر خواهد بود؟
شعاع انحنای ρ میله خمیده از فرمول زیر محاسبه میشود. با مشخص شدن این پارامتر، لنگر خمشی میتوان لنگر خمشی و تنشهای ماکسیمم را مورد محاسبه قرار داد. شعاع انحنای میله خمیده با فاصله مرکز استوانه تا محور خنثی سطح مقطع میله برابری میکند:
لنگر خمشی موجود در میله با استفاده از رابطه لنگر -انحنا به دست میآید:
با جایگذاری ممان اینرسی سطح مقطع عرضی میله I=πd4/64 در رابطه بالا خواهیم داشت:
تنشهای کششی و فشاری ماکسیمم که از نظر عددی با هم برابر هستند، از طریق رابطه خمش محاسبه میشوند:
با توجه به نتایج به دست آمده، تنش ماکسیمم σx کمتر از حد تناسب فولاد به کار رفته در میله است. به همین دلیل، محاسبات صورت گرفته دارای اعتبار هستند. توجه داشته باشید که به دلیل طول زیاد شعاع استوانه نسبت به قطر میله، صرف نظر کردن از پارامتر d در مخرج روابط بالا مانعی ندارد.
مثال 3
یک تیر ساده با انتهای آزاد با عرض مقطع b=5in و ارتفاع h=22in در معرض بار گسترده یکنواخت با شدت q=400lb/ft و بار متمرکز P=2400lb قرار دارد. بار یکنواخت q، وزن تیر را نیز شامل میشود. این تیر از چوب روکشدار و چسب مخصوص ساخت و ساز تشکیل شده است. تنشهای کششی و فشاری ماکسیمم ناشی از خمش را محاسبه کنید؟
نمودار های نیروی برشی و لنگر خمشی پیکربندی بالا را رسم میکنیم. سپس، لنگر خمشی ماکسیمم را به دست میآوریم. با توجه به وضعیت بارگذاری این تیر، لنگر ماکسیمم در زیر محل اعمال بار متمرکز رخ میدهد.
نمودارهای نیروی برشی و لنگر خمشی
بر اساس نمودار لنگر خمشی، Mmax در فاصله 9 فوتی از تکیهگاه A برابر با 37800lb-ft است. مدول مقطع سطح مستطیلی تیر با استفاده از رابطه زیر به دست میآید:
S = bh2/6 = 5 × 22 2 /6 = 403.3 in3
تنشهای کششی و فشاری ماکسیمم نیز از طریق روابط زیر محاسبه میشوند:
σt = Mmax/S = 37800 ×12/403.3 = 1125 psi
σC = -Mmax/S = – 1125 psi
نمودار لنگر خمشی در این مثال با توجه به بخش تحت فشار تیر رسم شده است. از اینرو، بخش زیادی از بالای تیر در معرض تنش فشاری و بخش زیادی از پایین تیر در معرض تنش کششی قرار دارد.
مثال 4
فاصله محور خنثي پلاستيك و الاستيك را براي مقاطع زير محاسبه كنيد؟
الف) در اين شكل به علت تقارن دو محور خنثي الاستيك و پلاستيك روي هم قرار دارند.
در نتيجه فاصله بين محور خنثي الاستيك و پلاستيك برابر 
نتیجهگیری
مطالب ارائه شده در این مقاله برای حالت خمش خالص تیرهای منشوری (دارای سطح مقطع یکنواخت در راستای محور طولی) و همگن (یکسان بودن خواص مواد تشکیلدهنده در تمام نقاط) با رفتار الاستیک خطی قابل استفاده است. در صورت اعمال خمش غیر یکنواخت بر روی یک تیر، نیروهای برشی باعث ایجاد تاب خوردگی (Warping) در مقاطع عرضی خواهد شد. در این حالت، نقاط سطح مقطعی که پیش از اعمال خمش بر روی یک صفحه قرار داشتند، پس از بارگذاری بر روی یک صفحه مشترک قرار نخواهند داشت. تاب خوردگی ناشی از تغییر شکلهای برشی، رفتار تیر را بسیار پیچیده میکند. با این وجود، برخی از تحقیقات نشان میدهند که در حضور تنشهای برشی و تاب خوردگی همراه آنها، مقدار تنشهای نرمال به دست آمده از رابطه پیچش با تغییر چندانی مواجه نمیشود. از اینرو، به کارگیری روابط ارائه شده در این مقاله برای محاسبه تنشهای نرمال در تیرهای تحت خمش غیر یکنواخت نیز قابل توجیه است.
منابع:
کتاب جامع مقاومت مصالح، مولف:نادرفنایی
- فولادشناسي و مباني طراحي سازه، مدرسان شریف
گردآورندگان:
